Người Friedel và Bijvoet 

Người Friedel và Bijvoet 
Đối với mỗi phản xạ tương ứng với một điểm q trong không gian đối ứng, có một sự phản chiếu khác có cùng cường độ tại điểm đối ứng -q. Sự phản chiếu đối lập này được gọi là người bạn Friedel của sự phản chiếu ban đầu. Sự đối xứng này xuất phát từ thực tế toán học rằng mật độ electrons f (r) tại một vị trí r luôn luôn là một số thực. Như đã nói ở trên, f (r) là biến đổi nghịch đảo của biến đổi Fourier F (q); tuy nhiên, một biến đổi đảo ngược như vậy là một số phức tạp nói chung. Để đảm bảo rằng f (r) là có thật, biến đổi Fourier F (q) phải như vậy với các cặp Friedel F (-q) và F (q) là các liên hợp phức tạp của nhau. Do đó, F (-q) có cùng độ lớn như F (q) nhưng chúng có pha ngược lại, tức là, φ (q) = -φ (q)

Sự công bằng của độ lớn của chúng đảm bảo rằng các Friedel có cùng cường độ | F | 2. Sự đối xứng này cho phép đo chuyển đổi Fourier đầy đủ từ chỉ một nửa không gian đối ứng, ví dụ bằng cách quay tinh thể hơn 180 ° thay vì quay tròn 360 độ. Trong tinh thể có tính đối xứng đáng kể, thậm chí phản xạ nhiều hơn có thể có cùng cường độ (Bijvoet bạn tình); trong những trường hợp như vậy, thậm chí ít hơn của không gian đối ứng có thể cần được đo. Trong các trường hợp thuận lợi về đối xứng cao, đôi khi chỉ cần 90 ° hoặc thậm chí chỉ có 45 ° dữ liệu được yêu cầu để hoàn toàn khám phá không gian đối ứng.

Giới hạn Friedel-mate có thể được bắt nguồn từ định nghĩa biến đổi Fourier nghịch đảo

Vì công thức của Euler cho rằng eix = cos (x) + i sin (x), biến đổi Fourier nghịch đảo có thể được tách thành tổng của một phần thực thuần túy và một phần hoàn toàn tưởng tượng

Hàm f (r) là có thật khi và chỉ khi tích phân Isin thứ hai là số không cho tất cả các giá trị của r. Đổi lại, điều này là đúng nếu và chỉ khi những ràng buộc trên là hài lòng

vì Isin = -Isin ngụ ý rằng Isin = 0.

Hình cầu của Ewald
Thông tin thêm: Ewald’s sphere
Mỗi ảnh nhiễu xạ tia X đại diện cho chỉ một miếng, một phần hình cầu của không gian đối ứng, như được thấy bằng cấu trúc hình cầu Ewald. Kout và kin có cùng chiều dài, do sự tán xạ đàn hồi, vì bước sóng không thay đổi. Do đó, chúng có thể được biểu diễn như hai vectơ xuyên tâm trong một quả cầu trong không gian đối ứng, cho thấy các giá trị q được lấy mẫu trong một ảnh nhiễu xạ nhất định. Vì có một sự lan tỏa nhẹ trong bước sóng tới của chùm tia X tới, nên các giá trị

Chức năng Patterson 
Thông tin thêm: Patterson chức năng
Một kết quả nổi tiếng của các phép biến đổi Fourier là định lý tự tương quan, cho biết rằng quan hệ tự tương đối c (r) của một hàm f (r)

có một biến đổi Fourier C (q) đó là cường độ bình phương của F (q)

Do đó, hàm tự tương quan c (r) của mật độ electron (còn được gọi là hàm Patterson ) có thể được tính trực tiếp từ cường độ phản xạ mà không tính toán các pha. Về nguyên tắc, điều này có thể được sử dụng để xác định cấu trúc tinh thể trực tiếp; tuy nhiên, thật khó để thực hiện trong thực tế. Hàm tự tương quan với sự phân bố các vectơ giữa các nguyên tử trong tinh thể; do đó, một tinh thể N nguyên tử trong tế bào đơn vị của nó có thể có N (N-1) đỉnh cao trong chức năng Patterson của nó. Do những sai sót không thể tránh khỏi trong việc đo cường độ, và những khó khăn về toán học trong việc tái thiết các vị trí nguyên tử từ các vector tương tác, kỹ thuật này hiếm khi được sử dụng để giải quyết cấu trúc, ngoại trừ những tinh thể đơn giản nhất.

Ưu điểm của tinh thể 
Về nguyên tắc, một cấu trúc nguyên tử có thể được xác định từ việc áp dụng tia X tới các mẫu không tinh thể, ngay cả với một phân tử. Tuy nhiên, các tinh thể mang lại một tín hiệu mạnh hơn do chu kỳ của chúng. Một mẫu tinh thể theo định nghĩa định kỳ; một tinh thể gồm nhiều tế bào đơn vị lặp đi lặp lại vô hạn theo ba hướng độc lập. Các hệ thống định kỳ như vậy có một biến đổi Fourier được tập trung ở các điểm lặp đi lặp lại định kỳ trong không gian đối ứng gọi là đỉnh Bragg; các đỉnh Bragg tương ứng với các điểm phản xạ được quan sát thấy trong hình ảnh nhiễu xạ. Vì biên độ tại những phản xạ phát triển tuyến tính với số N của các bộ tán xạ nên cường độ quan sát thấy của các điểm này sẽ tăng lên bậc hai như N2. Nói cách khác, bằng cách sử dụng một tinh thể tập trung sự tán xạ yếu của các tế bào đơn lẻ thành một sự phản chiếu mạnh mẽ, mạch lạc hơn có thể được quan sát ở trên nhiễu. Đây là một ví dụ về can thiệp xây dựng.

Trong mẫu dạng lỏng, bột hoặc vô định hình, các phân tử trong mẫu đó có hướng ngẫu nhiên. Các mẫu này có một phổ Fourier liên tục lan rộng biên độ của nó do đó giảm cường độ tín hiệu đo được, như được quan sát thấy ở SAXS. Quan trọng hơn, thông tin định hướng bị mất. Mặc dù về mặt lý thuyết có thể, thực nghiệm là khó để có được các cấu trúc phân giải nguyên tử của các phân tử phức tạp, không đối xứng từ các dữ liệu trung bình xoay chiều như vậy. Một trường hợp trung gian là nhiễu xạ sợi, trong đó các tiểu đơn vị được sắp xếp theo định kỳ trong ít nhất một chiều.