Một chiều
Các nhóm đẳng số trong một chiều trong đó đối với tất cả các điểm tập hợp các hình ảnh dưới isometries được đóng cửa topologically là:
nhóm nhỏ C1
các nhóm của hai yếu tố tạo ra bởi một sự phản ánh tại một điểm; chúng có đẳng cấu với C2
các nhóm rời rạc vô hạn tạo ra bởi một bản dịch; chúng là đẳng cấu với Z, nhóm phụ của các số nguyên
các nhóm rời rạc vô hạn tạo ra bởi một bản dịch và sự phản chiếu trong một điểm; chúng đồng đẳng với nhóm dihedral tổng quát của Z, Dih (Z), cũng được biểu hiện bởi D∞ (đó là một sản phẩm bán dẫn của Z và C2).
nhóm tạo ra bởi tất cả các bản dịch (isomorphic với nhóm additive của số thực R); nhóm này không thể là nhóm đối xứng của một “mẫu”: nó sẽ đồng nhất, do đó cũng có thể được phản ánh. Tuy nhiên, trường vector một chiều đồng nhất có nhóm đối xứng này.
nhóm tạo ra bởi tất cả các bản dịch và phản ánh tại các điểm; chúng có đẳng cấu với nhóm tứ diện tổng quát của R, Dih (R).
Xem thêm các nhóm đối xứng trong một chiều.
Hai chiều
Lên đến conjugacy các nhóm điểm rời rạc trong không gian hai chiều là các lớp sau:
các nhóm cyclic C1, C2, C3, C4, … trong đó Cn bao gồm tất cả các phép quay quanh một điểm cố định bằng bội số của góc 360 ° / n
các nhóm dihedral D1, D2, D3, D4, …, trong đó Dn (thứ tự 2n) bao gồm các phép quay trong Cn cùng với các phản xạ trong các trục n đi qua điểm cố định.
C1 là nhóm nhỏ chỉ chứa hoạt động nhận dạng, xảy ra khi con số không có đối xứng, ví dụ như chữ F. C2 là nhóm đối xứng của chữ Z, C3 của một triskelion, C4 của một chữ vạn và C5, C6 … là các nhóm đối xứng của những hình chữ nhật tương tự với năm chữ, sáu, vv .. thay vì bốn.
D1 là nhóm 2 phần tử có chứa hoạt động nhận diện và một sự phản chiếu, xảy ra khi con số này chỉ có một trục đơn tính đối xứng song phương, ví dụ như chữ A.
D2, đẳng cấu với nhóm Klein bốn, là nhóm đối xứng của một hình chữ nhật không đều. Con số này có bốn hoạt động đối xứng: hoạt động nhận dạng, một trục quay hai chiều, và hai máy bay gương không tương đương.
D3, D4 vv là các nhóm đối xứng của các đa giác thông thường.
Các nhóm đối xứng thực tế trong mỗi trường hợp này có hai mức độ tự do cho tâm quay, và trong trường hợp các nhóm dihedral, một nữa cho các vị trí của gương.
Các nhóm đẳng số còn lại trong hai chiều với một điểm cố định, trong đó cho tất cả các điểm tập hợp các hình ảnh dưới isometries được đóng cửa topologically là:
các SO trực giao đặc biệt SO (2) bao gồm tất cả các vòng quay về một điểm cố định; nó còn được gọi là nhóm vòng tròn S1, nhóm đa nhân của các số phức của giá trị tuyệt đối 1. Nó là một nhóm đối xứng thích hợp của một vòng tròn và tương đương liên tục của Cn. Không có hình học hình học có nhóm đối xứng đầy đủ nhóm vòng tròn, nhưng đối với một trường vector mà nó có thể áp dụng (xem trường hợp ba chiều dưới đây).
nhóm trực giao O (2) bao gồm tất cả các vòng xoay quanh điểm cố định và phản xạ qua bất kỳ trục nào qua điểm cố định đó. Đây là nhóm đối xứng của một vòng tròn. Nó còn được gọi là Dih (S1) vì nó là nhóm tổng quát của S1.
Đối với các con số không bị giới hạn, các nhóm izometry bổ sung có thể bao gồm bản dịch; những cái khép kín là:
7 nhóm gạch
17 nhóm hình nền
cho mỗi nhóm đối xứng trong một chiều, sự kết hợp của tất cả các đối xứng trong nhóm đó theo một hướng, và nhóm tất cả các bản dịch theo hướng vuông góc
ditto với cũng phản ánh trong một dòng theo hướng đầu tiên
Ba chiều
Xem thêm: Các nhóm điểm trong ba chiều
Lên đến conjugacy tập các nhóm điểm ba chiều bao gồm 7 chuỗi vô hạn, và 7 điểm riêng biệt. Trong kết tinh học chúng được giới hạn để tương thích với các đối xứng dịch thuật rời rạc của mạng lưới tinh thể. Hạn chế tinh thể của các gia đình vô hạn của các nhóm điểm chung cho kết quả là 32 nhóm điểm hình học (27 từ chuỗi vô hạn 7, và 5 trong số 7 điểm khác).
Các nhóm đối xứng liên tục có điểm cố định bao gồm:
sự đối xứng hình trụ mà không có một mặt phẳng đối xứng vuông góc với trục, điều này thường áp dụng cho một chai
hình trụ đối xứng với một mặt phẳng cân đối vuông góc với trục
cầu đối xứng
Đối với các vật thể và các trường vô hướng, sự đối xứng hình trụ biểu thị các mặt phẳng phản xạ thẳng đứng. Tuy nhiên, đối với các trường vector, nó không: trong các tọa độ hình trụ đối với một số trục, có sự đối xứng này, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào φ. Ngoài ra còn có đối xứng phản xạ nếu và chỉ nếu = 0.
Đối với đối xứng hình cầu không có sự phân biệt như vậy, nó ngụ ý các mặt phẳng phản xạ.
Các nhóm đối xứng liên tục mà không có một điểm cố định bao gồm các trục có trục vít, chẳng hạn như một helix vô hạn. Xem thêm các phân nhóm của nhóm Euclide.