Trong lý thuyết nhóm, nhóm đối xứng của một đối tượng (hình ảnh, tín hiệu, vv) là nhóm của tất cả các biến đổi theo đó đối tượng không thay đổi với thành phần như là hoạt động của nhóm. Đối với không gian với một số liệu, nó là một phân nhóm nhóm izometry của không gian có liên quan. Nếu không có quy định khác, bài viết này xem xét các nhóm đối xứng trong hình học Euclide, nhưng khái niệm này cũng có thể được nghiên cứu trong các ngữ cảnh tổng quát như mở rộng dưới đây.
Giới thiệu
Các “đối tượng” có thể là hình học hình học, hình ảnh và mẫu, chẳng hạn như mẫu hình nền. Định nghĩa có thể được thực hiện chính xác hơn bằng cách xác định hình ảnh hoặc mô hình có nghĩa là gì, ví dụ: chức năng của vị trí với các giá trị trong một bộ màu sắc. Đối với đối xứng của các vật thể vật lý, người ta cũng có thể muốn tính thành phần vật lý của chúng. Nhóm isometries của không gian gây ra một nhóm hành động vào các đối tượng trong đó.
Nhóm đối xứng đôi khi cũng được gọi là nhóm đối xứng đầy đủ để nhấn mạnh rằng nó bao gồm các đẳng hướng đảo hướng định hướng (như phản xạ, phản xạ trượt và các phép quay không đúng), theo đó con số này là bất biến. Nhóm con của isometries định hướng hướng (tức là các bản dịch, phép quay, và các thành phần của chúng) để lại mô hình bất biến được gọi là nhóm đối xứng thích hợp của nó. Nhóm đối xứng thích hợp của một đối tượng bằng với nhóm đối xứng đầy đủ của nó nếu và chỉ khi đối tượng là chiral (và do đó không có isometries đảo hướng, theo đó nó là bất biến).
Bất kỳ nhóm đối xứng nào có các phần tử có một điểm cố định chung, đúng với tất cả các nhóm đối xứng hữu hạn và cho các nhóm đối xứng của các con số bị giới hạn, có thể được biểu diễn dưới dạng một nhóm con của nhóm trực giao O (n) bằng cách chọn nguồn gốc là một điểm cố định. Nhóm đối xứng thích hợp sau đó là một phân nhóm của SO trực giao đặc biệt (n), và do đó được gọi là nhóm quay của hình.
Một nhóm đối xứng rời rạc là một nhóm đối xứng sao cho mỗi điểm của không gian tập hợp các hình ảnh của điểm dưới isometries trong nhóm đối xứng là một tập rời rạc. Số lượng các phần tử trong nhóm có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
Các nhóm đối xứng rời nhau có ba loại: (1) các nhóm điểm hữu hạn, bao gồm chỉ các phép quay, phản xạ, đảo ngược và rotoinversion – chúng chỉ là các phân nhóm hữu hạn của O (n), (2) nhóm mạng vô hạn, bao gồm chỉ các bản dịch, và (3) các nhóm không gian vô hạn kết hợp các phần tử của cả hai loại trước và cũng có thể bao gồm các phép biến đổi phụ như sự dịch chuyển vít và phản chiếu trơn trượt. Ngoài ra còn có các nhóm đối xứng liên tục, trong đó có các phép quay các góc nhỏ tùy ý hoặc các bản dịch có khoảng cách tùy ý. Nhóm của tất cả các đối xứng của một hình cầu O (3) là một ví dụ về điều này, và nói chung các nhóm đối xứng liên tục này được nghiên cứu như các nhóm Lie. Với sự phân loại các phân nhóm của nhóm Euclidean tương ứng với phân loại các nhóm đối xứng.
Hai hình học hình học được coi là có cùng một kiểu đối xứng nếu các nhóm đối xứng của chúng là các phân nhóm liên hợp của nhóm Euclide E (n) (nhóm izometry của Rn), trong đó hai phân nhóm H1, H2 của nhóm G là liên hợp, nếu có tồn tại g ∈ G sao cho H1 = g-1H2g. Ví dụ:
hai hình 3D có đối xứng gương, nhưng đối với các máy bay gương khác nhau.
hai hình 3D có đối xứng xoay 3 lần, nhưng đối với các trục khác nhau.
hai mẫu 2D có đối xứng chuyển đổi, mỗi hướng theo một hướng; hai vectơ dịch có chiều dài giống nhau nhưng có một hướng khác nhau.
Khi xem xét các nhóm đẳng số, người ta có thể hạn chế mình với những nơi mà đối với tất cả các điểm, tập hợp các hình ảnh dưới isometries được đóng cửa topo. Điều này bao gồm tất cả các nhóm izometric rời rạc và những người có liên quan đến các đối xứng liên tục, nhưng loại trừ một nhóm các bản dịch bằng số hợp lý. Một “nhân vật” với nhóm đối xứng này không thể vẽ được và chi tiết tốt đẹp một cách tùy tiện, không có sự đồng nhất thực sự.
Các nhóm đối xứng nói chung
Xem thêm: Automorphism
Trong các ngữ cảnh rộng hơn, một nhóm đối xứng có thể là bất kỳ nhóm chuyển đổi nào, hoặc nhóm automorphism. Một khi chúng ta biết được cấu trúc toán học nào chúng ta quan tâm, chúng ta sẽ có thể xác định được bản đồ nào giữ gìn cấu trúc. Ngược lại, chỉ định đối xứng có thể xác định cấu trúc, hoặc ít nhất là làm rõ ý nghĩa của một ngôn ngữ hình học bất biến, trong đó để thảo luận về nó; đây là một cách nhìn vào chương trình Erlangen.
Ví dụ, các nhóm automorphism của một số mô hình hình học hữu hạn không phải là “các nhóm đối xứng” theo nghĩa thông thường, mặc dù chúng bảo vệ đối xứng. Họ làm điều này bằng cách bảo vệ các gia đình của các điểm-điểm chứ không phải là điểm-bộ (hoặc “đối tượng”) mình.
Giống như trên, nhóm automorphisms của không gian gây ra một nhóm hành động trên các đối tượng trong đó.
Đối với một hình học được cho trong một không gian hình học nhất định, hãy xem xét mối quan hệ tương đương sau đây: hai automorphisms của không gian tương đương nếu và chỉ khi hai hình ảnh của hình là giống nhau (ở đây “giống nhau” không có nghĩa là một cái gì đó như ví dụ ” cũng như dịch và xoay vòng “, nhưng nó có nghĩa là” giống hệt nhau “). Sau đó, lớp tương đương của nhận dạng là nhóm đối xứng của hình, và mỗi lớp tương đương tương ứng với một phiên bản đẳng cấu của hình.
Có một bijection giữa mỗi cặp các lớp tương đương: sự nghịch đảo của một đại diện của lớp tương đương đầu tiên, bao gồm một đại diện của thứ hai.
Trong trường hợp một nhóm automorphism hữu hạn của toàn bộ không gian, thứ tự của nó là thứ tự của nhóm đối xứng của hình nhân với số phiên bản đẳng cấu của hình.
Ví dụ:
Isometries của máy bay Euclidean, hình ảnh là một hình chữ nhật: có vô số các lớp tương đương; mỗi cái chứa 4 isometries.
Không gian là một khối với Euclidean số liệu; các số liệu bao gồm các khối có cùng kích thước với không gian, với màu sắc hoặc hoa văn trên khuôn mặt; automorphisms của không gian là 48 isometries; hình này là một khối lập phương có một mặt có màu khác; con số này có một nhóm đối xứng của 8 isometries, có 6 lớp tương đương của 8 isometries, cho 6 phiên bản đẳng cấu của hình.
So sánh định lý của Lagrange (nhóm lý thuyết) và bằng chứng của nó.